Come fattorizzare i polinomi: tecniche ed esempi pratici

La fattorizzazione di un'espressione algebrica È il procedimento con cui detta espressione viene scritta come moltiplicazione di fattori più semplici. In altre parole, quando si fattorizzano i polinomi, l'obiettivo è trovare termini che, moltiplicati, diano la stessa espressione algebrica di origine.

Questo processo è della massima importanza in algebra, poiché consente di semplificare e rendere le equazioni molto più gestibili. Inoltre, uno degli obiettivi più importanti quando si fattorizza un polinomio è rappresentarlo come prodotto di altri polinomi di grado inferiore.

Per comprendere meglio il concetto consideriamo un esempio elementare:

Espressione algebrica: x(x + y)

Moltiplicando i termini di questa espressione, otteniamo:

x² +xy

In questo modo: x(x + y) = x² +xy

La factoring È utile non solo perché semplifica la risoluzione dei problemi, ma perché permette di individuare proprietà e relazioni tra i termini di un'espressione algebrica.

Il fattore comune

Prima di iniziare con le tecniche di fattorizzazione, è essenziale capire cosa significa il termine. fattore comune. Cercando il fattore comune all'interno di un polinomio miriamo a individuare un termine che si ripeta in tutti i termini dell'espressione, permettendoci di semplificarla.

Tuttavia, è importante notare che il factoring non è sempre possibile. Per fattorizzare è necessario che ci sia almeno un termine comune con cui lavorare. Altrimenti non è possibile semplificarlo ulteriormente.

Ad esempio, nell'espressione:

xa + yb + zc

Non ce ne sono fattore comune tra i termini, quindi la fattorizzazione non può essere effettuata.

Consideriamo un altro caso in cui ciò è fattibile:

a²x+a²y

Il fattore comune qui è a². Per semplicità, dividiamo entrambi i termini per questo fattore comune:

• a²x è diviso per a², che dà x
• a²y è diviso per a², cosa dà e

Infine l’espressione fattorizzata è:

a²(x+y)

Utilizzo del fattore comune nella fattorizzazione dei polinomi

In molti casi, alcuni termini di un polinomio avranno a fattore comune, mentre altri no. In questi scenari, ciò che dovrebbe essere fatto è a raggruppamento di termini, in modo che i termini raggruppati condividano un fattore comune.

Ad esempio, nell'espressione:

xa + ya + xb + yb

Possiamo raggruppare i termini in diversi modi:

(xa + ya) + (xb + yb)

Se analizziamo i termini raggruppati, possiamo osservare un fattore comune in ciascun gruppo:

a(x + y) + b(x + y)

Infine possiamo fattorizzare l’espressione nel modo seguente:

(x + y)(a + b)

Questa tecnica è chiamata “fattorizzazione di raggruppamento” e consente di semplificare i polinomi anche quando non tutti i termini hanno lo stesso fattore comune. Va notato che esiste più di un modo per raggruppare e il risultato sarà sempre lo stesso. Ad esempio, in questo stesso caso, avremmo potuto raggruppare i termini come segue:

(xa + xb) + (ya + yb)

Il che porta, ancora una volta, a:

x(a+b) + y(a+b)

Alla fine, otteniamo lo stesso risultato:

(a+b)(x+y)

Questo processo è supportato dalla legge commutativa, la quale afferma che l’ordine dei fattori non altera il prodotto finale.

Metodi avanzati: Factoring utilizzando prodotti notevoli

Esistono altri metodi per fattorizzare i polinomi, tra cui il prodotti notevoli. I prodotti degni di nota più comuni sono i perfetto trinomio quadrato e il trinomio della forma x² + bx + c. Esistono anche altri prodotti degni di nota, ma tendono ad essere applicati maggiormente ai binomi.

Trinomio quadrato perfetto

Un perfetto trinomio quadrato È un polinomio composto da tre termini, che è il risultato del quadrato di un binomio. La regola dice che il processo segue questa struttura: il quadrato del primo termine, più il doppio del primo termine moltiplicato per il secondo termine, più il quadrato del secondo termine.

Per fattorizzare un trinomio quadrato perfetto, seguiamo questi passaggi:

• Estraiamo la radice quadrata del primo e del terzo termine.
• Separiamo le radici con il segno che corrisponde al secondo termine.
• Quadratiamo il binomio che si forma.

Vediamo un esempio:

4a² – 12ab+9b²

• radice quadrata di 4a²: 2a
• radice quadrata di 9b²: 3b

Il trinomio viene scomposto come:

(2a – 3b)²

Trinomiale della forma x² + bx + c

Questo tipo di trinomio ha caratteristiche specifiche che ne consentono la scomposizione più facilmente. Affinché un trinomio di questa forma sia fattorizzabile, deve soddisfare i seguenti criteri:

• Il coefficiente del primo termine deve essere 1.
• Il primo termine deve essere una variabile al quadrato.
• Il secondo termine ha la stessa variabile, ma non è quadrato (ha esponente 1).
• Il coefficiente del secondo termine può essere positivo o negativo.
• Il terzo termine è un numero che non è direttamente correlato ai precedenti.

Un esempio di questa fattorizzazione sarebbe il seguente trinomio:

x² +9x +14

Per fattorizzarlo, segui questo processo:

• Scomponiamo il trinomio in due binomi.
• Il primo termine di ciascun binomio è la radice quadrata del primo termine del trinomio (in questo caso “x”).
• I segni dei binomi vengono assegnati in base alla seconda e alla terza quantità del trinomio (positiva in questo caso).
• Cerchiamo due numeri che moltiplicati danno 14 e sommati danno 9 (le opzioni sono 7 e 2).

In questo modo il trinomio scomposto è:

(x+7)(x+2)

Metodi aggiuntivi: Teorema dei fattori e regola di Ruffini

El teorema dei fattori afferma che un polinomio è divisibile per un polinomio della forma (x – a) se, valutando il polinomio originale per x = a, il risultato è 0. Questo teorema è utile per trovare le radici dei polinomi e facilita la fattorizzazione. Viene spesso utilizzato in combinazione con La regola di Ruffini, un metodo semplificato per eseguire divisioni polinomiali.

Questi strumenti sono particolarmente utili quando si lavora con polinomi di grado 3 o superiore, dove non è possibile applicare metodi semplici come il trinomio quadrato perfetto o prodotti notevoli.

Infine, è importante notare che non tutti i polinomi possono essere scomposti facilmente. In alcuni casi è necessario ricorrere a metodi o tecniche numeriche più avanzati per trovare le radici del polinomio. Tuttavia, la maggior parte degli esempi trovati nell'algebra di base possono essere risolti utilizzando questi strumenti.

La fattorizzazione è uno strumento potente in algebra perché consente di semplificare espressioni complesse e risolvere equazioni in modo più efficiente. Padroneggiando i diversi metodi di fattorizzazione dei polinomi, possiamo applicare soluzioni più rapide ed efficaci a un'ampia varietà di problemi.